Часы Pandora Gold

Часы Pandora Gold

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Исследование функций.

Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

 Напомним, что график функции  называется выпуклым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции  называется вогнутым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.

  Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

 Перегиб возможен в точках, в которых  равна нулю или не существует. Если  на интервале , то график функции является выпуклым  на этом интервале, если же , то на интервале  график вогнутый .

Найдем точки перегиба

Составим таблицу

-2

1

-

0

+

не существует

+

0

не существует

Точка - точка перегиба.

Дополнительные точки:

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. В этом и заключается свойство инвариантности (независимости) формы первого дифференциала, которое позволит в дальнейшем ввести операцию, обратную дифференцированию (интегрирование).

Из формул (14.52) и (14.53) следует, что

,

т.е. производная функции в точке численно равна отношению дифференциалов функции   и переменной  независимо от того, является ли  независимой переменной или функцией .

Понятие производной -го порядка. Пусть функция  имеет конечную производную  в каждой точке некоторого промежутка, называемую производной первого порядка. Но производная  сама является функцией от , которая также может иметь производную. Эту производную называют производной второго порядка (или второй производной) от функции  и обозначают символом  или :  (читается “игрек два штриха” или “эф два штриха от икс”). Так, например, если , то , .

Аналогично, если существует производная от производной второго порядка, то ее называют производной третьего порядка (или третьей производной) от функции  и обозначают символом  или : .

Вообще, производной -го порядка от функции  называют производную от производной -го порядка и обозначают символом  или :

 (14.54)

Отметим, что в формуле (14.54) принято , т.е. производная нулевого порядка есть сама функция.

Производные порядка выше первого называют производными высших порядков.

Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой. Таковой является, например, функция .

Таким образом, для того чтобы решить методом вариации произвольных постоянных решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: записать характеристическое уравнение; найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; найти фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));
Найдем точки экстремума функции